例えば、錠剤を包装から外さないままで飲み込んだ場合に、角が引っかかって食道に残っている例は経験したことがあります。しかし、今回は錠剤単体なので引っかかりにくいとは思いますが、絶対にないとは言えません。
次に、持ち出しというのは医療機関側が費用負担して再度やってくれるということです。それをやってくれるかどうかは医療機関次第です。質問者さんが実費を払うというなら問題なくやってくれることが多いと思います。